РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

DOI: 10.47026/1810-1909-2023-2-32-40

УДК: [517.956.225:517.982.43]:621.313-465

ББК: В161.68:К500.131

А.А. АФАНАСЬЕВ, Н.Н. ИВАНОВА

Ключевые слова

трехмерная аналитическая модель, электрическая машина, полый цилиндр конечной длины, уравнение Лапласа, метод разделения переменных Фурье, собственные функции и значения задачи Штурма–Лиувилля

Аннотация

Физической моделью многих электротехнических объектов служит полый цилиндр конечной длины. В качестве основы для построения аналитических моделей электрических машин используются линейные уравнения математической физики, являющиеся решением трехмерного дифференциального уравнения Лапласа в частных производных, которое широко применяется при аналитических расчетах.

Цель исследования – решение трехмерного дифференциального уравнения Лапласа для полого цилиндра конечной длины, которое может быть адаптировано для электромагнитного расчета электромеханических устройств с активными частями цилиндрической формы.

Материалы и методы. Для решения уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат использовался метод разделения переменных Фурье. Для получения нетривиального решения уравнения использовались собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Краевые задачи Дирихле, Неймана, задачи смешанного типа для полых цилиндров адаптированы к электромагнитному расчету электромеханических устройств, имеющих активные части цилиндрической формы.

Результаты. Рассмотрено уравнение Лапласа, заданное в цилиндрической системе координат, на основе которого для нахождения собственных функций составлено уравнение Штурма–Лиувилля с нулевыми начальными значениями. Полное решение уравнения Лапласа с заданными краевыми условиями получено как сумма решений двух отдельных задач Дирихле с разными краевыми условиями.

Выводы. Полученное аналитическое выражение может использоваться в качестве математической основы для построения трехмерных аналитических моделей электрических машин с активными частями цилиндрической формы и проведения электромагнитных расчетов соответствующих электромеханических устройств.

Литература

1. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 350 с.
2. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. 304 с.
3. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
4. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 423 с.
5. Функции Бесселя / сост.: В.И. Зубов. М.: МФТИ, 2007. 51 с.
6. Справочник по специальным функциям / пер. с англ. под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
7. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.: Мир, 1985. 384 с.
8. Jiang Q., Zhou Z., Yang F. The transient response of hollow electrostrictive cylinder subjected to the electrical shock. Arch Appl Mech, 2021, vol. 91, pp. 4039–4051. DOI: https://doi.org/10.1007/s00419-021-01992-4.
9. Li H., Hu X., Cui L. Magnetic Field Analysis for the Permanent Magnet Spherical Motor with SMC Core. In IEEE Transactions on Magnetics, 2023, vol. 59, no. 6, pp. 1–9. DOI: 10.1109/TMAG.2023.3244617.
10. Shuaiping Guo, Xinming Fan, Kuidong Gao, Hongguang Li. Precision controllable Gaver–Wynn–Rho algorithm in Laplace transform triple reciprocity boundary element method for three dimensional transient heat conduction problems. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2020, vol. 114, pp. 166–177.

Сведения об авторах

Афанасьев Александр Александрович – доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).

Иванова Надежда Николаевна – кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (niva_mail@mail.ru; ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7130-8588).

Формат цитирования

Афанасьев А.А., Иванова Н.Н. Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных для полого цилиндра конечной длины // Вестник Чувашского университета. – 2023. – № 2. – С. 32–40. DOI: 10.47026/1810-1909-2023-2-32-40.

Загрузить полный текст статьи