Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа методом разделения переменных в прямоугольном параллелепипеде

DOI: 10.47026/1810-1909-2023-4-35-43

УДК [517.954:517.956.225]:514.113.5

ББК [В161.6:В171.4]:В151.0

А.А. АФАНАСЬЕВ, Н.Н. ИВАНОВА

Ключевые слова

математическое моделирование, дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа, уравнение Лапласа, прямоугольный параллелепипед, постоянные Фурье

Аннотация

Цель исследования – решение краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде методом разделения переменных и оценка полученных при этом постоянных разделения переменных Фурье.

Материалы и методы. Для решения краевой задачи для уравнения Лапласа использовались методы математической физики. Исходная задача была разбита на три стандартные, в которых неоднородные граничные условия заданы только на двух параллельных сторонах, а на остальной части они принимались равными 0.

Результаты исследования. Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольном параллелепипеде была разбита на три задачи. Получены частные решения этих задач при заданных граничных условиях. Произведена оценка постоянных разделения переменных Фурье.

Выводы. Решение уравнения Лапласа для параллелепипеда является суммой решений трёх частных задач. Граничные функции параллелепипеда являются нечётными периодическими по двум переменным функциями, периоды которых равны длинам соответствующих сторон параллелепипеда. Постоянные Фурье частичных решений задачи являются коэффициентами разложения граничных периодических функций двух переменных в тригонометрический ряд Фурье. В двумерных рядах решения уравнения Лапласа для нечётных и для совокупности одновременно чётных и нечётных гармоник постоянные Фурье отличаются только знаками.

Литература

1. Афанасьев А.А. Метод разделения переменных в аналитических расчётах электрических машин. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2022. 278 с.
2. Афанасьев А.А. Трёхмерная аналитическая модель сверхминиатюрного магнитоэлектрического вентильного двигателя // Электротехника. 2023. № 7. С. 15–21.
3. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 350 с.
4. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965. 608 с.
5. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
6. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. 304 с.
7. Иванов-СмоленскийА.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., 1989. 312 с.
8. Куралбаев З. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с отрицательным знаком при старшей производной // The Scientific Heritage. 2022. № 103. С. 63–66.
9. КовалевС.В. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Сер. Естественные и технические науки. 2019. № 12. С. 66–70.
10. Пестриков В.М. Математические методы в инженерии. СПб.: ВШТЭ СПбГУПТД, 2023. 158 с.
11. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники: в 3 т. Т. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.
12. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
13. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: пер. с англ. М.: Мир, 1985. 384 с.
14. Холодова С.Е., Перегудин С.И. Дополнительные разделы высшей математики. СПб.: Университет ИТМО, 2020. 89 с.
15. Abu Arqub O. Numerical simulation of time-fractional partial differential equations arising in fluid flows via reproducing Kernel method. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 2020, vol. 30, no. 11, pp. 4711–4733.
16. Wang F., Zhao Q., Chen Z., Fan C.M. Localized Chebyshev collocation method for solving elliptic partial differential equations in arbitrary 2D domains. Applied Mathematics and Computation, 2021, vol. 397, 125903. DOI: 10.1016/j.amc.2020.125903.

Сведения об авторах

Афанасьев Александр Александрович – доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).

Иванова Надежда Николаевна – кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (niva_mail@mail.ru; ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7130-8588).

Формат цитирования

Афанасьев А.А., Иванова Н.Н. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа методом разделения переменных в прямоугольном параллелепипеде // Вестник Чувашского университета. – 2023. – № 4. – С. 35–43. DOI: 10.47026/1810-1909-2023-4-35-43.

Загрузить полный текст статьи