УСТОЙЧИВЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ D-ПСЕВДОРЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ И МЕРЫ ИХ НЕСОВМЕСТНОСТИ

DOI: 10.47026/1810-1909-2024-2-54-66

УДК 519.612.4

519.852.6

А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, М.В. КИСЕЛЁВ, М.В. ВАСИЛЬКОВА, В.В. ЕЖОВ

Ключевые слова

D-псевдорешения, мера несовместности, интегральные уравнения Фредгольма первого рода в инженерных задачах, метод поточечной невязки, оценка приближённых решений

Аннотация

Целью работы являются разработка и полное математическое обоснование устойчивого метода нахождения нормальных D-псевдорешений для несовместных систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными и меры их несовместности.

Материалы и методы. При выполнении работы использовались аналог теоремы Вейерштрасса из теории методов оптимизации, понятие эквивалентности норм в конечномерных пространствах и расширенный вариант леммы Хоффмана для определения расстояния от произвольной точки до полиэдра.

Результаты. В работе предлагается идейно простой и надёжный устойчивый способ – метод поточечной невязки для нахождения D-псевдорешений и меры несовместности системы линейных алгебраических уравнений, получающихся в ходе аппроксимации интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, описывающих ряд инженерных задач. Для использования метода достаточно знать поточечную информацию о приближённых данных и погрешности их задания. Доказана теорема сходимости и получена оценка скорости сходимости метода такого же порядка, что и порядок задания погрешностей в исходных данных, т.е. метод является оптимальным по порядку.

Выводы. Предложен новый метод численного нахождения нормальных D-псевдорешений для систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными в условиях отсутствия информации о ее разрешимости. Этот метод непараметрический и требует лишь однократного решения оптимизационной задачи с кусочно-линейными ограничениями, а в некоторых случаях – задачи квадратичного программирования.

Литература

1. Бабенко В.Н. О структуре оценок близости псевдорешений исходной и возмущённых систем линейных алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, № 9. С. 1459–1481.
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 415 с.
3. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: МЦНМО, 2020. 412 с.
4. Галба Е.Ф, Сергиенко И.В. Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами // Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 3. C. 1347–1363.
5. Иваницкий А.Ю. Устойчивые методы для решения систем линейных уравнений и неравенств с интервальными коэффициентами: дис. … канд. физ.-мат. наук. М., 1988. 133 с.
6. Иваницкий А.Ю. Оценка скорости сходимости метода поточечной невязки для решения несовместных систем линейных алгебраических уравнений. Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. С. 46–53.
7. Иваницкий А.Ю, Васильев Ф.П, Морозов В.А. Метод поточечной невязки для решения некоторых задач линейной алгебры и линейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 7. С. 1140–1459.
8. Иваницкий А.Ю, Морозов В.А, Кармазин В.Н. Метод поточечной невязки для решения несовместных систем и неравенств с приближёнными данными // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. № 3. С. 937–945.
9. Леонов А.С. Метод минимальной псевдообратной матрицы для решения некорректных задач линейной алгебры // Доклады Академии наук СССР. 1985. Т. 285, № 1. С. 36–40.
10. Леонов А.С. Метод минимальной псевдообратной матрицы: теория и численная реализация // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 10. С. 1427–1443.
11. Леонов А.С. Экстраоптимальные методы решения некорректно поставленных задач: обзор теории и примеры // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60, № 6. С. 985–1012.
12. Морозов В.А. О псевдорешениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 6. С. 196–203.
13. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклад АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501–504.
14. Bjorck A. Numerical Methods for Least Squares Problem. SIAM, Philadelphia, 1996, 425 p.
15. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, 1997, 419 p.
16. Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. Computer Methods for Mathematical Computations. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1997, 270 p.
17. Hoffman A. On Approximate Solutions of System of Linear Inequalities. of Research of the Nat. Bureau of Stanfords, 1952, no. 4, pp. 263–265.
18. Ivanitskiy A.Yu., Vasil’ev F.P., Morozov V.A. Pointwise residual methods for solving systems of linear alrebraic equations and inequalities. Ill-posed problems in Natural Sciences. VSP/TVP, Tokyo, 1992, pp. 33–43.
19. Lawson C.L., Hanson R.J. Solving Least Squares Problems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1974, 340 p.
20. Mechenov A.S. Pseudosolutions of Linear Functional Equations, Springer, 2005, 238 p.
21. Morozov V.A. Methods for Solving Incorrectly Posed Problems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1984, 257 p.
22. Panyukov A.P., Golodov Y.A. Computing Best Possible Pseudosolutions to Interval Linear Systems of Equations. Reliable Computing, 2018, vol. 19(6), pp. 215–228.
23. Wedin P.-A. Perturbation Theory for Pseudo-Inverses. BIT Numerical Mathematics, 1973, vol. 13, pp. 217–232.
24. Shary S.P. Interval Regularization for Imprecise Linear Algebraic Equations. In: Int. Conf. «Computational and Applied Mathematics 2017» (CAM 2017). Novosibirsk, 2017.
25. Vasylyev F.P., Ivanitskiy A.Yu. In-Depth Analysis of Linear Programming, Kluwer Academic Publishers. Dodrecht, Boston, London, 2001, 312 p.
26. Watkins D.S. Fundamental of Matrix Computations. John Willey, Sons, Inc., New York, 2015, 635 p.

Сведения об авторах

Иваницкий Александр Юрьевич – кандидат физико-математических наук, профессор, декан факультета прикладной математики, физики и информационных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (ivanitskiy@hotmail.com).

Киселёв Михаил Витальевич – кандидат технических наук, доцент, руководитель лаборатории «Нейроморфные вычисления», Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (mikhail.kiselev@kaspersky.com).

Василькова Марина Вениаминовна – руководитель центра развития современных компетенций детей «Дом научной коллаборации имени С.А. Абрукова», Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (vasilkovam@mail.ru).

Ежов Владимир Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, Флиндерский университет Южной Австралии, Австралия, Аделаида; Московский государственный университет, Россия, Москва (ejovvl@gmail.com).

Формат цитирования

Иваницкий А.Ю., Киселёв М.В., Василькова М.В., Ежов В.В. Устойчивый метод нахождения нормальных D-псевдорешений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными и меры их несовместности // Вестник Чувашского университета. – 2024. – № 2. – С. 54–66. DOI: 10.47026/1810-1909-2024-2-54-66.

Загрузить полный текст статьи