Родился 4 января 1943 г. в деревне Чувашские Ишаки Батыревского района Чувашской АССР.
Окончил Казанский финансово-экономический институт в 1966 г. До 1968 года работал в Батыревском райкоме КПСС.
В Чувашском государственном университете занимал различные должности – от ассистента до ректора: 1969-1990 гг. – ассистент, старший преподаватель, доцент, профессор, заведующий кафедрой экономической теории, заместитель декана, декан экономического факультета. В 1973 г. защитил кандидатскую диссертацию. В 1989 году защитил докторскую диссертацию.
С 1990 по 2009 гг. – ректор Чувашского государственного университета. Л.П. Кураков внес большой вклад в развитие университетского комплекса в переходной для нашей страны период.
С 1992 по 1994 гг. Л.П. Кураков был президентом Академии наук Чувашской Республики. Является действительным членом Российской академии образования, действительным членом ряда российских и международных общественных академий.
В 1993-1995 гг. – депутат Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации. Избирался депутатом Верховного Совета Чувашской Республики и Государственного Совета Чувашской Республики первого и второго созывов. В 1997-2000 гг. – вице-президент Чувашской Республики, председатель Кабинета министров Чувашской Республики, заместитель председателя Комитета по науке, культуре, образованию, здравоохранению и экологии Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, председатель Государственного Совета Чувашской Республики.
Л.П. Кураков – автор более 600 научных трудов, в том числе свыше 130 монографий, учебников и учебных пособий. Являлся членом редколлегий федеральных научных журналов «Бюллетень Ассоциации российских вузов», «Семья в России», «Школа духовности» и др.
Л.П. Кураков теоретически обосновал и практически внедрил модель социально ориентированной интегрированной системы непрерывного образования.
Л.П. Кураков был председателем диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций по экономике при Чувашском государственном университете с 2001 по 2010 гг. Им подготовлено свыше 60 докторов и кандидатов наук.
Награжден орденами Почета (1997), «За заслуги перед Отечеством IV степени» (2009), медалью К.Д. Ушинского (2002). Является заслуженным деятелем науки Российской Федерации (1993) и Чувашской АССР (1990), заслуженным работником высшей школы Российской Федерации (2003), заслуженным профессором Чувашского государственного университета.
Лауреат Премии Президента Российской Федерации в области образования (2001), Государственной премии Чувашской Республики в области науки и техники (1997), Всечувашской национальной премии имени И.Я. Яковлева, премии имени М. Сеспеля.
Имеет нагрудный знак «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации».
Почетный гражданин г. Чебоксары (2006), г. Алатырь (2002), г. Канаш (2006), Алатырского (2009), Батыревского (2000) и Яльчикского (2000) районов Чувашской Республики.
Президент Чувашского государственного университета имени И.Н. Ульянова (12.01. 2010 – 08.12.2011).
Л.П. Кураков умер 21 декабря 2020 года. Похоронен в г. Чебоксары.
